En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la recta.
Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que posee un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. En coordenadas polares por un ángulo y una distancia. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.
El área es una medida de extensión de una superficie, o de una figura geométrica plana expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los elementos del espacio sobre el plano.
Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación, que se basan en el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de representación han de cumplir el principio dereversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos reconstruir en el espacio.
Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si el punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblícua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblícuo al plano de proyección.
Fig 1
En Sistema Diédrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortanperpendicularmente formando un diédro rectángulo (Fig. 2).
Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical (Fig. 3). De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano.
Fig. 2
El punto
Un punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. En la figura 4, el punto A del espacio queda representado por sus proyecciones a sobre el plano Horizontal, y a' sobre el plano Vertical.
Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre el vertical, la proyección a del punto se traslada con el plano, de manera que las proyecciones a-a' quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea de tierra (Fig. 5). Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.
Fig. 4
Fig. 5
Conceptos de cota y alejamiento
La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a' a la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra (Fig. 6).
Fig. 6
Fig. 7
Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de la línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal de un punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra.
Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primer cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y la proyección vertical por encima (Fig. 7).
Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la cota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrará sobre la línea de tierra.
Alfabeto del punto
El alfabeto del punto es la representación del punto en las distintas posiciones que puede ocupar en el espacio respecto a los planos de proyección y a los planos bisectores. Los planos bisectores son los que dividen los cuadrantes en dos diedros iguales. Con los bisectores, el sistema queda dividido en ocho octantes (Figs 9 y 10).
Fig. 9
Fig. 10
Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos de proyección, por lo que tendrán la misma cota que alejamiento. Si son del mismo signo, las proyecciones del punto equidistan de la LT; y si son de distinto signo, éstas quedarán superpuestas (Fig. 10).
Para representar las diecisiete posiciones del punto en el sistema diédrico, podemos ayudarnos del esquema de la fig. 10, donde se puede observar claramente los valores de las cotas y alejamientos del punto. Por ejemplo, el punto A(a-a') tiene alejamiento positivo (a por debajo de LT) por estar por delante del plano vertical y cota nula (a' en LT) por encontrarse en el horizontal.
Siguiendo este procedimiento podemos representar las demás posiciones (Fig. 11).
La Recta
Dos puntos del espacio determinan una recta. Por lo tanto, para representarla en el sistema diédrico bastará con conocer las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella A y B. Uniendo las proyecciones homónimas, es decir a con b y a' con b', se obtienen las proyecciones horizontal r y vertical r' de la recta (Fig. 12).
Fig. 12
Fig. 13
Trazas de la recta
Una recta también puede definirse por sus trazas. Las trazas de una recta son los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección.
La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto H del plano horizontal, y por tanto con cota nula, lo que implica que su proyección vertical h' se encuentre en la línea de tierra.
La traza vertical V, por tener alejamiento nulo, tendrá su proyección horizontal v, en la línea de tierra.
Partes vistas y ocultas
En este sistema el espectador se sitúa en el primer cuadrante, por ello, sólo serán vistos los elementos situados en él, representandose con línea continua.
Para determinar las partes vistas y ocultas de una recta debemos considerar la posición de las trazas. Si, por ejemplo, una recta tiene su traza vertical V(v-v') en el plano vertical superior y su traza horizontal H(h-h') en el plano horizontal anterior, el segmento comprendido entre las trazas pertenece al primer cuadrante, la semirrecta a partir de la traza vertical pertenece al segundo y la semirrecta a partir de la traza horizontal al tercero.
Fig. 14
Fig. 15
Trazas con los bisectores
Las trazas con los bisectores son los puntos que tienen igual cota que alejamiento y pertenecen a la recta. El segundo bisector pasa por los cuadrantes que tienen cota y alejamiento de distinto signo, por tanto, la traza B2 con el segundo bisector es el punto de intersección de las proyecciones de la recta. Y al contrario, la traza con el primer bisector B1 es el punto cuyas proyecciones equidistan de la LT. Este se halla trazando la recta simétrica de una de las proyecciones hasta cortar la otra proyección (Fig. 15).
Alfabeto de la recta
Fig. 16
A) Recta paralela a la línea de tierra: es también paralela a los dos planos de proyección, por tanto, el alejamiento y la cota de todos sus puntos son constantes.
B) Recta horizontal: es paralela al plano horizontal, por lo que su proyección vertical se representa paralela a la LT. Sólo tiene traza con el plano vertical, al que es oblicua.
C) Recta frontal: es paralela al plano vertical y oblicua al horizontal, su proyección horizontal se representa paralela a LT por tener alejamiento constante. Sólo tiene traza don el plano horizontal.
D) Recta vertical: es perpendicular al plano vertical y sólo tiene traza con él. Su proyección vertical es perpendicular a LT y la horizontal es un punto que coincide con su traza.
E) Recta de punta: es perpendicular al plano vertical, por lo que todos los puntos de la recta se proyectan sobre su traza vertical.
F) Recta genérica: es oblicua a los dos planos de proyección. Las trazas que la definen pueden ser dos puntos cualesquiera de los planos de proyección. Sus dos proyecciones son oblicuas a la LT.
G) Recta que pasa por la LT. : Es también oblicua a los dos planos de proyección, pero sus trazas coinciden en un mismo punto de la LT, por lo que necesitamos un punto -M(m-m')- que le pertenezca para definirla.
H) Recta perpendicular a LT. : sus proyecciones son perpendiculares a la LT. También se necesita un punto para definirla.
I) Recta de perfil: por ser paralela a un plano de perfil sus proyecciones son perpendiculares a la LT.
Fig. 17
El plano
Alfabeto del plano
El plano se representa por sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección vertical y horizontal.
Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos de proyección conforman el alfabeto del plano.
Fig. 18
A) Plano horizontal: es paralelo al plano horizontal de proyección, por lo que sólo tiene una traza con el plano vertical que es paralela a la línea de tierra. Los elementos contenidos en él se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.
B) Plano Frontal: el paralelo al plano vertical. Sólo tiene traza horizontal paralela a la LT.
C) Plano de canto o proyectante vertical: es perpendicular al plano vertical y oblicuo al horizontal. Al ser perpendicular al plano vertical, los elementos contenidos en el se proyectan sobre la traza con dicho plano.
D) Plano vertical o proyectante horizontal: es perpendicular al plano horizontal. Su traza vertical es perpendicular a la LT. Y su traza horizontal oblicua.
E) Plano genérico: es oblicuo a los dos planos de proyección.
F) Plano paralelo a la LT. : es oblicua a los planos de proyección y perpendicular a los planos de perfil; se puede considerar un proyectante de perfil, lo que implica que todo lo contenido en él se proyecte sobre su traza de perfil.
G) plano que pasa por LT. : sus trazas se confunde en la LT., por lo que se necesita un punto del mismo para definirlo. También es proyectante de perfil.
H) Plano de perfil: es paralelo al plano de perfil y perpendicular al vertical y al horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en él, los cuales se proyectan en verdadera magnitud en el plano de perfil de proyección.
Fig. 19
Relaciones de pertenencia
Un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones están contenidas en las proyecciones homónimas de la recta (Fig. 20).
Fig. 20
Fig. 21
Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en las trazas homónimas del plano (Fig. 21).
Un punto pertenece a un plano, si está contenido en una recta que a su vez pertenece al plano (Fig. 21).
Rectas notables del plano
Rectas horizontales: son las rectas horizontales que pertenecen al plano. Su Traza -V(v-v')- está sobre la traza -P'- del plano y su proyección horizontal es paralela a la traza P (Fig. 22).
Rectas Frontales: Su única traza -H(h-h')- pertenece a -P- y la proyección -f'- es paralela a la traza vertical -P'- del plano (Fig. 23).
Fig. 22
Fig. 23
Recta de máxima pendiente: Es la recta que perteneciendo al plano forma mayor ángulo con el plano horizontal (Fig. 24).
Recta de máxima inclinación: Es la recta del plano que forma mayor ángulo con el plano vertical (Fig. 25).
Fig. 24
Fig. 25
La recta de máxima inclinación tiene, al contrario que la r.m.p., La proyección vertical perpendicular a la traza homónima del plano. Ambas rectas son suficientes para definir un plano. Si, por ejemplo, se nos da un plano definido por su recta de máxima pendiente, la perpendicular por la traza -h- a la proyección horizontal -r- de la recta es la traza horizontal del plano. La traza vertical -P'- la trazamos uniendo el origen del plano con la traza vertical - v'-.
Determinación de las trazas de un plano
Un plano puede quedar determinado por los siguientes elementos:
Dos rectas que se cortan (Figs. 26, 27 y 28).
Tres puntos no alineados (Fig. 30).
Una recta y un punto que no le pertenezca.(Fig. 31)
Dos rectas paralelas (Fig. 29).
Fig. 26
Fig. 27
Los casos en que nos dan dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas se resuelven hallando las trazas de ambas rectas y trazando por ellas las trazas homónimas del plano.
Fig. 28
Fig. 29
Cuando nos dan tres puntos no alineados, podemos transformar el caso en el de dos rectas que se cortan si trazamos las rectas AB y AC, que se cortarán precisamente en el punto A.
El caso de una recta y un punto exterior también se transforma en el primero si situamos en la recta un punto cualquiera, M, y lo unimos con el punto dado, los cuales definen una recta S que se corta con la recta dada en el punto M.
Fig. 30
CONCLUSION:
Existen infinidad de tipos de planos
por ejemplo:
una funcion R2 se define por la expresion y=f(x), en donde para cada valor de x le corresponde solo uno de y,
como se muestra;
x1 -- y1=f(x1)
x2 --y2=f(x2)
xn --yn=f(xn)
Una funcion R3 se define por la expresion z=f(x,y), en donde para cada pareja de coordenadas x,y le corresponde uno y solo uno de z, como se muestra en el siguiente diadrama;
x1,y1 -- z1=f(x1,y1)
x2y2 -- z2=f(x2y2)
x3y3 -- z3=f(x3y3)
.
.
xnyn -- zn=f(xnyn)
dominio rango
Una funcion R4 se define por la expresion w=(x,y,z) y asi sucesivamente
R5 ---t=f(x,y,z,w)
R6 ---s=f(x,y,z,w,t}
R7 ---r = f(x,y,z,w,t,s)
.
.
.
.
Rn
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